【钟灵毓秀】“四种模型+一种思想”------完美解决数列通项问题！！！

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距高考还有87天

要处理好数列的递推公式，首先要非常熟悉四种递推式模型的处理方法，剩下的就交给“化归思想”，对代数式进行相应的变形处理。

等差型

01

迭代法

02

叠加法

例题

小试

——

---

——

等和型

01

迭代作差，分奇偶项

例题

小试

——

---

——

等比型

01

迭代法

02

累积法

例题

小试

——

---

——

等积型

01

迭代作商，分奇偶项

例题

小试

——

---

——

好了，有了这四个基本形式，那我们就可以依据它们，随心所欲地处理递推式的一般形式了。当然，其中对代数变形能力的考查，也是会让很多学生无从下手！

▼

变1

称为常系数一阶线性式，但与等差型相比，也只是系数之间的差异，故首先考虑消除这种系数差异。

常见两种变化方法:

1.等式两边同除以Aⁿ，将递推式转化为等差型，用叠加法或迭代法处理。

2.用待定系数法，将递推式转化为等比型，利用等比数列通项公式处理。

变2

此递推式与常系数一阶线性式的区别，主要为a_n-1项系数不再为常数，故不能再按“变1”的方式进行改造,但依照化归思路，必须将其通过代数变形后，转化为四种基本形式之一。

此种形式递推式

常用待定系数法将其转化为

变3

此递推公式与一阶线性式的区别，仅是多了一个项，故可先将其转化为“常系数一阶线性式”，再进行处理，转化为“常系数一阶线性式”时依然用待定系数法。

特别补充①

形如

形式递推公式

称为二阶常系数齐次线性递推式

这种形式递推式

可用特征根法

▼

特征方程为

当然

如果在实数范围内无解时

可用虚根

高中阶段一般不研究

变4

这种常系数非齐次递推公式，主要思路首先要将项的次数降为齐次，主要方法可采用等式两边取对数，将递推式转化为四种基本形式之一。

变5

此递推式与“变4”相同之处为“常系数二次非齐次式”，但等式两边不为乘方形式，达不到两边取对数的条件，故首先考虑将式子两边都整理为

这样，就可以取对数了。

变6

这种含有交叉项的“常系数二次非齐次式”，首先当然要考虑消除交叉项了，因为这样就可以转化为前面的某些形式。

因为没有常数项，一般可有两种思路：

1.两边同时除以交叉项，达到转化为“常系数一阶线性式”：

再构造等差型或等比型处理。

2.将等式转化为分式型：

再通过取倒数，达到化为“常系数一阶线性式”，再构造等差型或等比型处理。

变7

和“变6”相比，递推式中不仅有交叉项，同时有常数项，此式已不再具备两边同除以交叉项的条件，但转化为分式型：

因分子中出现常数项，也不符合“变6”取倒数的条件，这时就需要用到待定系数法，构造取倒条件。

特别补充②

形如

形式递推公式

通过转化后一般可成为

这种形式递推式

有一种特别的方法

不动点法

▼

首先构造特征方程

当然

中学阶段

方程在实数范围内无解时

则可以考虑数列

会不会是周期数列

就象是下面这个样子

按照这个方向摸索

如果幸运

就会发现它的周期了

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